Inhoud

• stadia
• Deel 1 Bekijk de basisprincipes van de infinitesimale calculus
• Deel 2 Derivaten begrijpen
• Deel 3 De integralen begrijpen

In dit artikel: De basisprincipes van infinitesimale berekening opnieuw bekijken Derivaten gebruikenInzicht in integralenReferenties

De oneindige calculus is een tak van de wiskunde die zich bezighoudt met functies, hun limieten, derivaten, integralen, series en oneindige reeksen. Het is een essentieel onderdeel van de wiskunde, omdat het veel sectoren interesseert, zoals natuurkunde of mechanica. Het vereiste niveau om dit artikel te volgen is ten minste dat van de Terminale, en meer zeker van de universiteit. We zullen in dit artikel echter proberen de basis te leggen voor de oneindig kleine calculus.

stadia

Deel 1 Bekijk de basisprincipes van de infinitesimale calculus

1. 
   

   
   De uiterst kleine calculus is de studie van variaties. Het is een gebied dat het mogelijk maakt om, met getallen, krommen en vergelijkingen, vele fenomenen van het dagelijks leven te bestuderen. Zeker, dit soort berekeningen kan heel abstract lijken, maar in feite kun je bijvoorbeeld de voortgang van je bedrijf in detail bestuderen, of weten wat het verbruik is van een ruimtevaartuig op deze of die hoogte. De uiterst kleine calculus wordt veel gebruikt op de volgende gebieden: engineering, economie, statistiek, scheikunde, natuurkunde ... Aantal belangrijke ontdekkingen waren toegestaan ​​door deze specifieke berekening.

2. 
   

   
   Een functie legt een relatie tussen twee waarden. Meestal proberen we problemen op te lossen, functies te vinden om de wereld om ons heen te beschrijven. Omdat functies betrekking hebben op waarden, is het mogelijk om grafieken (curven) te maken. In een functie heeft elk antecedent een afbeelding. Neem de functie: y = 2x +4. Elke nieuwe waarde van "x" (antecedent) geeft een nieuwe waarde van "y" (afbeelding). Dus, als x = 2, dan is y = 8, en als x = 10, dan is y = 24. De minuscule calculus houdt zich meer in het bijzonder bezig met de veranderingen van fenomenen.
   • Een functie wordt bijvoorbeeld in de volgende vorm geschreven: f (x) = x + 3. Het is duidelijk dat u elke keer dat u x vervangt door een waarde, 3 moet toevoegen om f (x) te hebben, ook wel " y ». Dit is hoe f (2) = 2 + 3 = 5.
   • Functies kunnen complexe bewegingen verklaren. Het Europese Ruimteagentschap (ESA) heeft duizenden functies in zijn computers ingevoerd waarmee bijvoorbeeld de snelheid of het traject van zijn ruimtevaartuig kan worden berekend op basis van hoogte, brandstofverbruik, windsnelheid, gewicht van het ruimteschip ...

3. 
   

   
   
   
   Het is essentieel om te begrijpen wat er wordt gedefinieerd. Het is een concept dat een beetje moeilijk te definiëren is en dat bijvoorbeeld een fenomeen kan beschrijven dat zich herhaalt, zonder einde of zonder grenzen: is er nooit iemand aan het einde gekomen? We kunnen het begrip oneindigheid benaderen door ons af te vragen hoe bijvoorbeeld een wiskundige bewerking kan evolueren als we het voor onbepaalde tijd herhalen. Je voelt het, er is uiteindelijk een idee van verandering, en het is deze wijziging die de oneindig kleine calculus wil benadrukken. U kunt dus op elk moment de snelheid van uw auto bepalen tmaar hoe zit het met de volgende seconde? Op de volgende milliseconde? Bij de volgende nanoseconde? Je ziet dat we het idee van oneindigheid raken en in dit stadium hebben we oneindig kleine calculus nodig.

4. 
   

   
   Begrijp wat de limiet van een functie is. De limiet geeft de waarde aan waarnaar een functie neigt. Laten we het getal 1 nemen en het delen door 2. Laten we deze verdeling herhalen op oneindig, we krijgen 1/2, dan 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, enzovoort. Zoals u kunt zien, wordt het resultaat kleiner en dichter bij 0. Maar wat zal de limiet zijn? Hoe vaak deelt het om 0 te krijgen? In de minuscule calculus proberen we de vraag niet te beantwoorden: we zeggen dat er een limieten hier is het 0.
   • Grenzen zijn veel beter in een grafiek - u kunt zien dat de curve dichter bij een waarde komt zonder ooit te dichten.
   • Een limiet kan een numerieke waarde zijn (positief of negatief), + ∞ (plus oneindig), - ∞ (minder verfijnd), of niet bestaan. Dus als je 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... maakt, vermoed je dat de limiet een groot aantal zal zijn: de limiet is dan + ∞.

5. 
   

   
   
   
   Bekijk uw noties van algebra, trigonometrie en geometrie. De oneindig kleine calculus zou onmogelijk zijn zonder beheersing van bepaalde takken van wiskunde die je waarschijnlijk op de universiteit of middelbare school hebt gestudeerd. Als je deze gebieden goed beheerst, zul je veel minder moeite hebben om de oneindig kleine calculus te begrijpen. Hier zijn enkele van de gebieden die absoluut moeten worden beoordeeld.
   • Lalgebra: deze tak van wiskunde maakt het mogelijk om de eigenschappen van bewerkingen en de behandeling van vergelijkingen toe te passen, enkelvoudig of meervoudig. Ze is ook geïnteresseerd in ensembles,
   • Geometrie: deze tak bestudeert de figuren van het vlak en de ruimte. Bekijk de eigenschappen van bepaalde figuren, zoals driehoeken, vierkanten, cirkels ... Je moet weten hoe je hun gebieden, hun omtrekken moet berekenen ... Je moet een goede kennis hebben van wat de hoeken, lijnen, coördinaten zijn.
   • Trigonometrie: het is een tak van de wiskunde die geïnteresseerd is in de eigenschappen van cirkels en rechte driehoeken. Je moet de trigonometrische identiteiten, de curven, de trigonometrische functies (eenvoudig als invers) perfect beheersen.

6. 
   

   
   Koop een grafische rekenmachine. De oneindig kleine calculus is erg abstract, dus we moeten proberen de resultaten te visualiseren die met deze berekening zijn verkregen. Met grafische rekenmachines is het mogelijk om grafieken van functies te zien en tot slot om beter te begrijpen wat er gebeurt. Deze machines tonen de grenzen van de functie, maar ook derivaten en primitieven.
   • Als u niet in een echte rekenmachine wilt investeren, weet dan dat er toepassingen voor smartphones of tablets zijn tegen lage kosten, wat niet betekent dat ze minder betrouwbaar zijn dan rekenmachines.

Deel 2 Derivaten begrijpen

1. 
   

   
   De infinitesimale calculus wordt gebruikt voor de studie van "instantane variatie". Om te weten waarom iets op een specifiek moment verandert, is de reden voor een uiterst kleine calculus. Zo is de calculus oneindig klein minder, om een ​​voorbeeld te geven, bij de snelheid van een auto die variaties in snelheid die op dit of dat moment van zijn koers kunnen weten. In het begin lijkt het misschien onaantrekkelijk, maar stel je voor wat deze kennis zou kunnen hebben voor het berekenen van het brandstofverbruik van miljoenen voertuigen. Stel je dit voor een ruimtevaartuig dat veel variaties van stoten kent!
   • Het vinden van de onmiddellijke variatie wordt mogelijk gemaakt door de afleiding. Het is een van de twee hoofdcomponenten van de infinitesimale calculus.

2. 
   

   
   Met derivaten kunnen we onmiddellijke variaties analyseren. Het woord "afgeleide" klinkt als iets verontrustends: we drijven! Maar het is niets, integendeel, een functie afleiden maakt het mogelijk te weten "hoe iets varieert".Daarom impliceert de term "afgeleide" vaak een idee van snelheid, wat een verandering, een variatie impliceert. In plaats van te praten over "afgeleide van snelheid", spreken we vaker over "versnelling", een idee dat iedereen kent.
   • Versnelling is een afgeleide, het vertegenwoordigt de variatie van de snelheid, zowel naar beneden als naar boven, van een beweging als functie van de tijd.

3. 
   

   
   De mate van verandering wordt de helling genoemd. Het wordt gemeten tussen twee punten van een traject en verkrijgt dankzij de oneindig kleine calculus. De variatie tussen twee punten is de helling van de rechte lijn die hen verbindt. Neem de lineaire lijn gedefinieerd door de functie: y = 3x. De helling (ook wel de "stuurcoëfficiënt" genoemd) is 3, wat betekent dat voor elke nieuwe waarde van x, y wordt vermenigvuldigd met 3. De termen helling en veranderingssnelheid zijn uitwisselbaar: het recht stijgt een kracht 3 voor elke waarde van x. Dus wanneer x = 2, y = 6 en wanneer x = 3, y = 9.
   • De helling komt overeen met verhouding tussen de variatie van y en de overeenkomstige variatie van x.
   • Hoe steiler de helling, hoe steiler de bocht. Een steile curve is synoniem met aanzienlijke variatie in het fenomeen.
   • Lees indien nodig dit artikel om u eraan te herinneren hoe u een helling kunt berekenen.

4. 
   

   
   Het is mogelijk om hellingen op elke curve te berekenen. Het vinden van de helling van een rechte lijn is eenvoudig: hoeveel neemt y toe met elke verandering van x? Hoe zit het met een complexe curve zoals die van de functie y = x? Het is een beetje moeilijker omdat de curve niet lineair is. Het is echter mogelijk om de helling tussen twee punten van deze curve te berekenen: het is voldoende om een ​​lijnsegment tussen deze twee punten te tekenen voordat de helling wordt berekend, waardoor u de mate van variatie krijgt.
   • Met y = x is het dus voldoende om twee punten van de lijn te vinden en één zal de helling ervan kunnen berekenen. Neem de punten (1,1) en (2,4). De helling is gelijk aan: (4 - 1) / (2 - 1) = 4/2 = 2. Dit betekent dat de mate van verandering tussen x = 1 en x = 2 2 is.

5. 
   

   
   Voor precieze veranderingen, neem twee punten dicht bij elkaar. Hoe dichter uw punten zijn, hoe nauwkeuriger uw analyse zal zijn. Stel dat u wilt weten hoe snel uw auto accelereert wanneer u het gaspedaal indrukt. Het is niet hetzelfde als het kennen van het snelheidsverschil tussen uw huis en de plaatselijke supermarkt: u wilt bijvoorbeeld het snelheidsverschil weten een seconde na het indrukken van het pedaal. Hoe korter uw referentietijdinterval, hoe fijner uw analyse zal zijn.
   • Laten we nog een voorbeeld nemen: wetenschappers bestuderen de verdwijning van bepaalde diersoorten gedurende het jaar, met als doel een parade te vinden. We weten bijvoorbeeld dat ze veel meer sterven in de winter dan in de zomer. U begrijpt dat als we deze dieren willen helpen, we het tempo van de verliezen niet in het jaar moeten bestuderen, maar in de winter, bijvoorbeeld in de maand januari.

6. 
   

   
   Stel je een heel groot aantal kleine segmenten voor. Het is dankzij hen dat je de "onmiddellijke mate van verandering" zult vinden, ook wel "derivaat" genoemd. Dit is een beetje moeilijk te begrijpen, maar onthoud twee principes: de helling tussen twee punten geeft een mate van verandering, en hoe dichter je bent, hoe beter de meting van deze snelheid. Hoe kunnen we echter de veranderingssnelheid in een enkel punt berekenen als de helling van nature twee punten relateert? In de infinitesimale calculus is er een antwoord: neem de twee punten die het dichtst bij dit punt liggen.
   • Laten we het voorbeeld nemen van het delen van 1 door 2, vervolgens weer 2, enzovoort. We hebben achtereenvolgens 1/2, 1/4, 1/8, etc. verkregen Je voelt het, we zullen 0 naderen, het antwoord zal zijn: "praktisch nul". De punten komen steeds dichterbij, zozeer zelfs dat ze op een gegeven moment zo dichtbij zullen komen dat we kunnen praten over onmiddellijke snelheden. Dit is wat de afgeleide doet: deze zoekt naar de meest nauwkeurige waarde die mogelijk is.

7. 
   

   
   Leer de verschillende afleidingsformules. Afhankelijk van de functie is het nodig om deze of die afleidingsformule te gebruiken. Allen volgen echter dezelfde principes als eerder vermeld. Wat ook de afgeleide is, het maakt het mogelijk om de helling van het "kleinst mogelijke segment" van de curve te verkrijgen. Genoeg voor theorie, plaats voor berekeningen!

8. 
   

   
   Bepaal de afgeleide om de mate van verandering te berekenen. Hiermee kunt u het op elk moment berekenen. Hoewel afgeleiden nuttig zijn voor het vinden van de mate van verandering in een punt, maar met een uiterst kleine calculus, is het goed dat u voor elke functie een model kunt maken. De afgeleide van y = x is bijvoorbeeld y = 2x. Zoals u kunt zien, kunt u elke keer dat u een waarde van x neemt, de afgeleide op dat punt berekenen. Dit laatste is natuurlijk op de curve. De berekening is eenvoudig, u vervangt x in de functie afgeleid door zijn waarde. Dus op punt (2, 4), met x = 2 en y = 4, is de afgeleide 4, omdat y = 2 x 2.
   • Derivaten worden aangegeven door een superscriptteken: de afgeleide van y is: y (lees "y prime").

9. 
   

   
   Denk aan voorbeelden van het dagelijks leven. Als je moeite hebt om het principe van de afgeleide te begrijpen, denk dan aan een concreet voorbeeld waarin een snelheid betrokken is. We herinneren je eraan dat de afgeleide de instantane snelheid van variatie van een hoeveelheid meet. Neem als voorbeeld de klassieke bal van een bal die boven een hellend vlak loslaat. Ons doel is om op elk moment van de race te weten welke afstand zal zijn afgelegd en de snelheid die dan zal zijn bereikt. Er wordt gesteld dat de bal over het hellende vlak een rechte lijn is. Het is dankzij de afgeleide dat we de onmiddellijke variatie op elk punt van het baltraject hier kunnen berekenen.
   • Hoe snel verandert de bal van positie? Wat is de mate van verandering of afgeleide van de beweging van de bal? Deze afgeleide is gewoon "snelheid".
   • Men laat zonder initiële snelheid een bal vallen op een hellend vlak en men probeert te weten hoe het snelheid kost. Het is dit snelheidsverschil tussen twee punten dat men wil weten, het is een snelheid van variatie, het is de afgeleide. Dit fenomeen wordt "versnelling" genoemd.
   • Stel je nu voor dat dit zelfde marmer een typische "achtbaan" -baan volgt. We proberen erachter te komen hoe deze bal snelheid wint in afdalingen en hoe deze verliest in de beklimmingen. Je kunt je bijvoorbeeld afvragen hoe snel het halverwege de eerste klim beweegt. Zijn snelheid zal de afgeleide zijn van de functie van het traject op dit zeer precieze punt.

Deel 3 De integralen begrijpen

1. 
   

   
   De uiterst kleine calculus wordt gebruikt om onregelmatige oppervlakken en volumes te berekenen. Zonder dit zou het extreem lang en ingewikkeld zijn om deze gebieden en volumes te berekenen. En nogmaals, de resultaten zouden slechts benaderingen zijn! Stel je voor dat je het watervolume van een groot meer met onregelmatige contouren wilde berekenen. Dit volume kan niet worden ingesteld met een emmer of zelfs een grotere container, net zoals het net zo onmogelijk is om het oppervlak te meten. Dankzij de uiterst kleine calculus en volgens de wijzigingen van de oevers van het meer, kan men het volume van het waterplan berekenen.
   • Het is met meerdere integraties die zijn vastgesteld, bijvoorbeeld modellen (meteorologisch, vulkanisch ...). Integratie is het tweede onderdeel van de infinitesimale calculus.

2. 
   

   
   Met integratie kunt u het resultaat onder een grafiek krijgen. Deze bewerking maakt het daarom mogelijk om de ruimte onder een curve te meten, ongeacht of deze rechtlijnig is of niet. Neem de functie f (x) = x. Zijn grafiek is een parabool in de vorm van een "U" die naar de top stijgt. Stel dat u de afstand tussen de curve en de x-as in een bepaald interval wilt berekenen: dit is mogelijk dankzij de integralen. Goed! In het begin lijkt het misschien oninteressant, maar als je het toepast op de industrie of de BTP, stel je dan een stuk voor dat je met behulp van een functie zou kunnen volgen. Lindustriel kon dan, dankzij de integratie, de exacte hoeveelheid materiaal regelen die hij nodig heeft om zijn stukken te produceren.

3. 
   

   
   We kunnen alleen integreren met een interval. Het is niet mogelijk om een ​​functie te integreren in het gehele definiëringsdomein. De functie y = x geeft dus een oneindige grafiek, de diagonaal die de bovenste kwadranten rechts en linksonder in twee verdeelt. Je begrijpt dat je niet over de hele curve kunt integreren. Daarom kiezen we er altijd voor om te integreren met een interval (dat meestal wordt geschreven als "I"), bijvoorbeeld tussen x = 2 en x = 5.

4. 
   

   
   Onthoud hoe u de breedte van een rechthoek moet berekenen. Neem de vergelijking van de horizontale lijn: y = 4. Om een ​​gebied onder deze lijn te vinden, moet het beperkt zijn. We nemen bijvoorbeeld het bereik tussen x = 0 en x = 4. Door het interval van de "x" op te geven, zal deze berekening eenvoudig zijn, omdat er alleen rechte lijnen zijn. Maar met een onregelmatige grafiek wordt de berekening veel moeilijker: we hebben geen rechthoek meer.

5. 
   

   
   Integratie bestaat uit het toevoegen van de gebieden met kleine rechthoeken. Laat ons uit te leggen. Als u sterk inzoomt op een segment van een onregelmatige curve, ziet u uiteindelijk alleen een recht segment, recht. Deze illusie is heel gebruikelijk: de kromming van de aarde is niet zichtbaar tijdens het lopen op de grond. Als we teruggaan naar integratie, is het een operatie die een oneindig aantal kleine rechthoeken onder de curve meet. Ze zijn zo klein dat ze zonder volume verschijnen. Aan de andere kant, door ze allemaal toe te voegen, verkrijgen we de curve.
   • Het is alsof je onder de grafiek een heel groot aantal kleine rechthoeken stapelt waarvan de gebieden waren virtueel gelijk aan 0, maar niet gelijk.

6. 
   

   
   Weet hoe je de formulering van de integraal kunt ontcijferen. Een integraal bevat 4 elementen en heeft de vorm:
   
   ∫ f (x) dx
   Het eerste symbool, ∫, is dat van integratie. Het tweede element, f (x), is de betreffende functie (2x + 2, t, enz.), Terwijl het derde element, dx, de richting van integratie aangeeft. Alleen de integratiekloof ontbreekt, wat het vierde element is.
   • Als het geheel wordt gevolgd door dy en niet zoals gebruikelijk dx, is het noodzakelijk om ermee te integreren: het is een beetje ingewikkelder.

7. 
   

   
   Weet hoe integralen op te lossen. Afhankelijk van de functie verloopt integratie via verschillende formules. Het doel is echter hetzelfde als het is gezien: integratie is om het totaal van alle mogelijke rechthoeken onder de curve te vinden. Eenvoudig gezegd kunnen we:
   • invoegen door vervanging,
   • integreren in onbepaalde integralen,
   • integreren door delen.

8. 
   

   
   Integratie is het omgekeerde van de afleiding. Dit is een ongrijpbare realiteit, en dit is de reden achter vele wetenschappelijke vooruitgang. De twee bewerkingen zijn zo nauw met elkaar verweven dat we variatiesnelheden, versnellingen, snelheden, locaties, bewegingen kunnen berekenen ... ongeacht de gegevens die u bij de start hebt.
   • We hebben dus gezien dat versnelling de afgeleide was van snelheid. Omgekeerd, dankzij de integratie van de versnelling, zullen we de snelheid vinden. Als je versnelling kent (bijvoorbeeld die van een object dat in vrije val valt onder invloed van de zwaartekracht), zul je door te integreren zijn snelheid vinden. Of het nu gaat om integratie of afleiding, één stuk gegevens volstaat voor andere gegevens.

9. 
   

   
   Dankzij de integratie kunnen we volumes berekenen. Een volume kan bijvoorbeeld worden verkregen door een tweedimensionaal object op zichzelf te draaien. Stel je voor dat je met hoge snelheid een munt op zichzelf laat ronddraaien: het lijkt je een volume te vormen, een soort bol. Op basis van deze ervaring raakt u een zogenaamd "volume gegenereerd door rotatie" aan.
   • Als u een functie kunt bepalen die een van de zijkanten van uw volume vormt, kunt u het volume eenvoudig berekenen. Het is dus mogelijk om je een functie voor te stellen die het profiel van de bodem van een meer bepaalt. Vanuit deze functie is het mogelijk om door integratie het volume van het meer af te leiden.