Inhoud

• Stappen
• Tips
• Waarschuwingen

Twee breuken worden als gelijkwaardig beschouwd als ze dezelfde waarde hebben. Weten hoe je een breuk in een equivalent moet omzetten, is een essentiële wiskundige vaardigheid die wordt gebruikt van basisalgebra tot geavanceerde calculus. Dit artikel behandelt verschillende manieren om equivalente breuken te berekenen, van eenvoudige vermenigvuldiging en deling tot complexere methoden voor probleemoplossing.

Stappen

Methode 1 van 5: Equivalente breuken vormen

1. 

   Vermenigvuldig de teller en de noemer met hetzelfde getal. Twee verschillende maar equivalente breuken hebben per definitie tellers en noemers die veelvouden van elk zijn. Met andere woorden, het vermenigvuldigen van de teller en de noemer van een breuk met hetzelfde getal levert een equivalente breuk op. Hoewel de cijfers in de nieuwe breuk verschillen, hebben de breuken dezelfde waarde.
   • Als we bijvoorbeeld de breuk 4/8 nemen en zowel de teller als de noemer met 2 vermenigvuldigen, hebben we (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Deze twee fracties zijn equivalent.
   • (4 × 2) / (8 × 2) is in wezen gelijk aan 4/8 × 2/2. Onthoud dat bij het vermenigvuldigen van twee breuken, we vermenigvuldigen op een gekruiste manier, dat wil zeggen teller met teller en noemer met noemer.
   • Merk op dat 2/2 gelijk is aan 1 wanneer de deling wordt gemaakt. Daarom is het gemakkelijk in te zien waarom 4/8 en 8/16 equivalent zijn, aangezien 4/8 × (2/2) = 4/8 vermenigvuldigd wordt. Hetzelfde kan gezegd worden voor 4/8 = 8/16.
   • Elke breuk heeft een oneindig aantal equivalente breuken. Het is mogelijk om de teller en de noemer met elk geheel getal te vermenigvuldigen, hoe groot of klein ook, om een ​​gelijkwaardige breuk te verkrijgen.

2. 

   
   
   Deel de teller en de noemer door hetzelfde getal. Net als bij vermenigvuldigen, kan deling ook worden gebruikt om een ​​nieuwe breuk te vinden die equivalent is aan de eerste breuk. Deel eenvoudig de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal om een ​​gelijkwaardige breuk te krijgen. Er is een punt in dit proces: de resulterende breuk moet gehele getallen hebben in zowel teller als noemer om als geldig te worden beschouwd.
   • Laten we bijvoorbeeld nog eens kijken naar de breuk 4/8. Als we, in plaats van te vermenigvuldigen, zowel de teller als de noemer door 2 delen, hebben we (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. Zowel 2 als 4 zijn gehele getallen, dus deze equivalente breuk is geldig.

Methode 2 van 5: Basisvermenigvuldiging gebruiken om de gelijkwaardigheid te bepalen

1. 

   
   
   Zoek het getal waarmee de laagste noemer moet worden vermenigvuldigd om de hoogste noemer te genereren. Bij veel breukgerelateerde problemen wordt bepaald of twee breuken equivalent zijn. Wanneer u dit aantal berekent, kunt u beide breuken op gelijke voet zetten om de gelijkwaardigheid te bepalen.
   • Neem bijvoorbeeld de breuken 4/8 en 8/16 opnieuw. De laagste noemer, 8, en we zouden dat getal met 2 moeten vermenigvuldigen om het de grootste te maken, namelijk 16. Daarom is het getal in dit geval 2.
   • Bij moeilijkere getallen is het mogelijk om de grootste noemer eenvoudig door de kleinste te delen. In dit geval wordt 16 gedeeld door 8, wat resulteert in 2.
   • Het getal is niet altijd een geheel getal. Als de noemers bijvoorbeeld 2 en 7 zijn, is het getal in kwestie 3,5.

2. 

   
   
   Vermenigvuldig de teller en de noemer van de breuk, uitgedrukt in kleinere termen, met het getal in de eerste stap. Twee verschillende maar gelijkwaardige breuken hebben per definitie tellers en noemers zijn veelvoud van elkaar. Met andere woorden, het vermenigvuldigen van de teller en de noemer van een breuk met hetzelfde getal levert een equivalente breuk op. Hoewel de getallen in deze nieuwe breuk anders zullen zijn, hebben de breuken dezelfde waarde.
   • Als we bijvoorbeeld de breuk 4/8 van de eerste stap nemen en zowel de teller als de noemer vermenigvuldigen met het eerder bepaalde getal 2, hebben we (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16 - waarmee wordt bewezen dat beide breuken equivalent zijn.

Methode 3 van 5: Basisdeling gebruiken om gelijkwaardigheid te bepalen

1. 

   Bereken elke breuk als een decimaal getal. In het geval van eenvoudige breuken zonder variabelen, kunt u in principe elke breuk uitdrukken als een decimaal getal om de gelijkwaardigheid te bepalen. Aangezien elke breuk vanaf het begin echt een deelprobleem is, is dit de eenvoudigste manier om de gelijkwaardigheid te bepalen.
   • Neem bijvoorbeeld de reeds gebruikte 4/8. De breuk 4/8 komt overeen met de berekening van 4 gedeeld door 8, dat wil zeggen 4/8 = 0,5. Je kunt ook het andere voorbeeld oplossen, namelijk 8/16 = 0,5. Ongeacht de termen van een breuk, ze zijn equivalent als beide getallen exact gelijk zijn wanneer ze in decimale vorm worden uitgedrukt.
   • Onthoud dat de decimale uitdrukking meerdere cijfers kan doorlopen voordat het gebrek aan gelijkwaardigheid duidelijk wordt. Als een eenvoudig voorbeeld: 1/3 = 0,333, terwijl 3/10 = 0,3. Als u meer dan één cijfer gebruikt, kunt u zien dat de twee vergelijkingen niet equivalent zijn.

2. 

   Deel de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal om een ​​gelijkwaardige breuk te krijgen. In het geval van complexere breuken vereist de deelmethode aanvullende stappen. Net als bij de vermenigvuldigingsmethode is het mogelijk om de teller en de noemer van een breuk door hetzelfde getal te delen om een ​​gelijkwaardige breuk te krijgen. Er zit een geheim achter dit proces. De resulterende breuk moet gehele getallen hebben in zowel de teller als de noemer om geldig te zijn.
   • Laten we bijvoorbeeld nog eens kijken naar de breuk 4/8. Als, in plaats van ze te vermenigvuldigen, verdelen de teller en noemer met 2, dan hebben we (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 en 4 zijn beide hele getallen, dus deze equivalente breuk is geldig.

3. 

   Beperk breuken tot hun minimumvoorwaarden. De meeste breuken moeten normaal gesproken worden uitgedrukt in hun minimumvoorwaarden, en het zal mogelijk zijn om ze naar die minimumvoorwaarden om te zetten door ze te delen door hun grootste gemene deler (MFC). Deze stap werkt met dezelfde logica bij het uitdrukken van equivalente breuken wanneer ze worden geconverteerd naar dezelfde noemer, maar deze methode tracht elke breuk terug te brengen tot zijn minimaal uit te drukken termen.
   • Wanneer een breuk in zijn eenvoudigste bewoordingen is, zijn de teller en de noemer beide zo klein als ze kunnen zijn, en kunnen ze ook niet worden gedeeld door een geheel getal om een ​​kleiner getal te krijgen. Om een ​​fractie om te rekenen Nee is in zijn eenvoudigste bewoordingen in een dat het is, delen we de teller en de noemer door hun grootste gemene deler.
   • De grootste gemene deler (MFC) van de teller en de noemer is gelijk aan het grootste getal dat beide deelt om een ​​volledig resultaat te verkrijgen. Dus in ons 4/8 exemplaar, sinds 4 is het grootste getal dat zowel 4 als 8 deelt, delen we de teller en de noemer van onze breuk door 4 om de eenvoudigste termen te verkrijgen: (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. In het andere voorbeeld, 8/16, is de MFC 8, waardoor we ook tot het resultaat 1/2 komen als de eenvoudigste uitdrukking van de breuk.

Methode 4 van 5: Kruisvermenigvuldiging gebruiken om een ​​variabele op te lossen

1. 

   Maak de twee breuken gelijk. We gebruiken kruisvermenigvuldiging voor wiskundige problemen waarvan we weten dat ze equivalent zijn, maar waarbij een van de getallen in een ervan is vervangen door een variabele (meestal x) die moet worden opgelost. In dit soort gevallen weten we dat breuken equivalent zijn omdat ze de enige termen zijn aan weerszijden van het gelijkteken, maar deze oplossing is niet altijd duidelijk. Gelukkig is het oplossen van deze problemen bij kruisvermenigvuldiging eenvoudig.

2. 

   Neem beide equivalente breuken en vermenigvuldig ze kruiselings in een "X" -vorm. Met andere woorden, u moet de teller van een breuk vermenigvuldigen met de noemer van de andere en vice versa, en vervolgens deze twee antwoorden gelijk aan elkaar bepalen en het probleem oplossen.
   • Neem de twee voorbeelden 4/8 en 8/16. Ze bevatten geen variabele, maar het is mogelijk om het concept te bewijzen, aangezien we al weten dat ze equivalent zijn. Door kruisvermenigvuldiging hebben we 4 × 16 = 9 × 9, of 64 = 64, wat ongetwijfeld waar is. Als de twee nummers niet identiek zijn, zijn de breuken niet equivalent.

3. 

   Voer een variabele in. Omdat kruislings vermenigvuldigen de gemakkelijkste manier is om equivalente breuken te bepalen bij het oplossen van een variabele, gaan we een onbekende invoeren.
   • Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking 2 / x = 10/13. Om de kruisvermenigvuldiging uit te voeren, vermenigvuldigen we 2 met 13 en 10 met x, en definiëren we de antwoorden gelijk aan elkaar:
     • 2×13 = 26
     • 10 × x = 10x
     • 10x = 26
       • Vanaf hier is het verkrijgen van een antwoord op onze variabele een kwestie van eenvoudige algebra. X = 10/26 = 2,6, waarbij de initiële equivalente breuken worden gedefinieerd als 2 / 2,6 = 10/13.

4. 

   Gebruik kruisvermenigvuldiging in vergelijkingen met meerdere variabelen of uitdrukkingen met onbekenden. Een van de beste punten bij kruisvermenigvuldiging is het feit dat het in wezen op dezelfde manier werkt, of het nu gaat om twee eenvoudige breuken (zoals hierboven) of om meer complexe breuken. Als beide breuken bijvoorbeeld variabelen bevatten, moet u deze pas aan het einde van het oplossingsproces verwijderen. Evenzo, als de tellers of noemers van breuken uitdrukkingen met variabelen bevatten (zoals x + 1), is het voldoende om door de distributieve eigenschap te “vermenigvuldigen” en ze normaal op te lossen.
   • Beschouw bijvoorbeeld de vergelijking =. In dit geval zullen we het, net als eerder, oplossen met kruisvermenigvuldiging:
     • (x + 3) × 4 = 4x + 12
     • (x + 1) × 2 = 2x + 2
     • 2x + 2 = 4x + 12
       • We zullen de vergelijking vereenvoudigen door 2x van beide kanten af ​​te trekken.
     • 2 = 2x + 12
       • Hier zullen we de variabele isoleren door 12 van beide kanten af ​​te trekken.
     • -10 = 2x
       • We delen beide getallen door 2 om x te vinden.
     • -5 = x

Methode 5 van 5: De kwadratische formule gebruiken om de variabelen op te lossen

1. 

   Vermenigvuldig de twee breuken kruiselings. Bij equivalentieproblemen die de kwadratische formule vereisen, beginnen we met kruisvermenigvuldiging. Elke vermenigvuldiging waarbij variabele termen met andere variabele termen worden vermenigvuldigd, zal waarschijnlijk resulteren in een uitdrukking die niet gemakkelijk zal worden opgelost met pure algebra. In dergelijke gevallen kan het nodig zijn om technieken te gebruiken zoals factoring en kwadratische formules.
   • Kijk bijvoorbeeld naar de vergelijking =. In eerste instantie zullen we de kruisvermenigvuldiging uitvoeren:
     • (x + 1) × (2x-2) = 2x + 2x-2x-2 = 2x-2
     • 4×3 = 12
     • 2x-2 = 12

2. 

   Druk de vergelijking uit als een kwadratische vergelijking. Op dit punt willen we deze vergelijking in kwadratische vorm uitdrukken (ax + bx + c = 0), wat kan worden gedaan door deze gelijk te maken aan nul. In dit geval trekken we 12 van beide kanten af ​​om 2x-14 = 0 te krijgen.
   • Sommige waarden kunnen gelijk zijn aan 0. Hoewel 2x-14 = 0 de eenvoudigste vorm voor de vergelijking is, wordt de echte kwadratische vergelijking weergegeven door 2x + 0x + (- 14) = 0. Het is handig om de kwadratische vorm van een vergelijking zelfs als sommige van de waarden gelijk zijn aan 0.

3. 

   Los het op door de getallen in je vergelijking in de kwadratische formule in te voeren. De kwadratische formule x = / 2a helpt ons de waarde x te vinden. Laat u niet intimideren door de grootte van de formule. U neemt gewoon de waarden van de kwadratische vergelijking in stap twee en voegt ze op de juiste punten in voordat u deze oplost.
   • / 2a
     • In onze vergelijking, 2x-14 = 0, a = 2, b = 0 en c = -14.
   • x = / 2 (2)
   • x = / 2 (2)
   • x = / 2 (2)
   • x = ± √10.58 / 4
   • x = ±2,64

4. 

   Controleer het antwoord door de x-waarde weer in de kwadratische vergelijking in te voeren. Door de berekende waarde in stap twee in de kwadratische vergelijking in te voeren, kun je eenvoudig bepalen of je tot het juiste antwoord bent gekomen. In dit voorbeeld plaatst u zowel 2,64 als -2,64 in de kwadratische vergelijking.

Tips

• Het omzetten van breuken naar de equivalente vorm is een manier om ze met 1 te vermenigvuldigen. Bij het omrekenen van 1/2 naar 2/4 is het vermenigvuldigen van de teller en de noemer met 2 hetzelfde als het vermenigvuldigen van 1/2 met 2/2, wat resulteert in 1.
• Als u wilt, kunt u gemengde getallen omzetten in onjuiste breuken om conversie te vergemakkelijken. Het is duidelijk dat niet alle breuken zo eenvoudig te converteren zijn als in het bovenstaande voorbeeld 4/8. Gemengde getallen (zoals 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, etc.) kunnen het conversieproces iets gecompliceerder maken. Als u een gemengd getal naar een gelijkwaardige breuk moet converteren, kunt u dit op twee manieren doen: door het gemengde getal in een onjuiste breuk te veranderen en het normaal te converteren of het gemengde nummer behouden en een gemengd nummer als antwoord krijgen.
  • Om het in een onjuiste breuk om te zetten, vermenigvuldigt u de integer-component met de noemer van de fractionele component en voegt u deze toe aan de teller. Bijvoorbeeld 1 2/3 = / 3 = 5/3. Vervolgens kunt u het, als u dat wilt, vrijelijk converteren. Bijvoorbeeld 5 / x × 2/2 = 10/6, wat overeenkomt met 1 2/3.
  • Maar dat is het niet verplicht converteer het naar een oneigenlijke breuk, zoals eerder beschreven. Als we dat niet doen, negeren we de integer-component, converteren we de geïsoleerde fractionele component en voegen we vervolgens de ongewijzigde integer-component toe. In het geval van 3 4/16 zullen we bijvoorbeeld alleen 4/16 observeren. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. Dus als we de integer-component toevoegen, hebben we een nieuw gemengd getal, of 3 1/4.

Waarschuwingen

• Vermenigvuldigen en delen werkt door het verkrijgen van equivalente breuken, omdat vermenigvuldigen en delen door fractionele vormen van het getal 1 (2/2, 3/3, etc.) per definitie resulteren in antwoorden die equivalent zijn aan de initiële breuk. Bij optellen en aftrekken is deze mogelijkheid niet mogelijk.
• Hoewel u tellers en noemers met elkaar vermenigvuldigt door breuken te vermenigvuldigen, is het niet mogelijk om noemers op te tellen of af te trekken bij het optellen of aftrekken van breuken.
  • We hebben hierboven bijvoorbeeld vastgesteld dat 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. Als, in plaats daarvan, we voegen toe 4/4, dan hebben we een heel ander antwoord: 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 of 3/2, waarvan geen enkele gelijk is aan 4/8.